Un nuevo método matemático revoluciona la resolución de ecuaciones

Un matemático de la UNSW Sydney ha descubierto un nuevo método para abordar el desafío más antiguo del álgebra: resolver ecuaciones polinómicas de orden superior.

Los polinomios son ecuaciones que involucran una variable elevada a potencias, como el polinomio de grado dos: 1 + 4x - 3x* = 0. Estas ecuaciones son fundamentales tanto para las matemáticas como para la ciencia, donde tienen amplias aplicaciones, como ayudar a describir el movimiento de los planetas o a escribir programas informáticos. Sin embargo, históricamente ha resultado difícil encontrar un método general para resolver ecuaciones polinómicas de "orden superior", donde x se eleva a la quinta potencia o superior. Ahora, el profesor honorario de la UNSW (Universidad de Nueva Gales del Sur) Norman Wildberger ha revelado un nuevo enfoque que utiliza secuencias numéricas novedosas, descrito en la revista The American Mathematical Monthly, junto con el informático Dr. Dean Rubine.

"Nuestra solución reabre un libro previamente cerrado en la historia de las matemáticas", afirma el profesor Wildberger en un comunicado.

Las soluciones a polinomios de segundo grado existen desde el año 1800 a. C., gracias al "método de completar el cuadrado" de los babilonios, que evolucionó hasta convertirse en la fórmula cuadrática, tan familiar para muchos estudiantes de matemáticas de secundaria. Este enfoque, que utiliza raíces de números llamadas "radicales", se extendió posteriormente para resolver polinomios de tercer y cuarto grado en el siglo XVI. En 1832, el matemático francés Évariste Galois demostró cómo la simetría matemática subyacente a los métodos utilizados para resolver polinomios de grado inferior se volvía imposible para los de grado cinco y superior. Por lo tanto, concluyó que ninguna fórmula general podía resolverlos. Desde entonces se han desarrollado soluciones aproximadas para polinomios de grado superior, que se utilizan ampliamente en aplicaciones, pero el profesor Wildberger afirma que estas no pertenecen al álgebra pura. El problema, dice, radica en el uso de raíces terceras o cuartas en la fórmula clásica, que son radicales. Los radicales generalmente representan números irracionales, que son decimales que se extienden hasta el infinito sin repetirse y no pueden escribirse como fracciones simples. Por ejemplo, la raíz cúbica de siete (1,9129118...), se extiende indefinidamente. El profesor Wildberger afirma que esto significa que la verdadera solución nunca se puede calcular completamente porque "se necesitaría una cantidad infinita de trabajo y un disco duro más grande que el universo". Por lo tanto, cuando asumimos que la raíz cúbica de siete 'existe' en una fórmula, asumimos que este decimal infinito e interminable es, de alguna manera, un objeto completo. Por eso, el profesor Wildberger afirma que no cree en los números irracionales. Los números irracionales, dice, se basan en un concepto impreciso de infinito y conducen a problemas lógicos en matemáticas.

El rechazo del profesor Wildberger a los radicales inspiró sus contribuciones más conocidas a las matemáticas, la trigonometría racional y la geometría hiperbólica universal. Ambos enfoques se basan en funciones matemáticas como el cuadrado, la suma o la multiplicación, en lugar de números irracionales, radicales o funciones como el seno y el coseno. Su nuevo método para resolver polinomios también evita los radicales y los números irracionales, basándose en extensiones especiales de polinomios llamadas "series de potencias", que pueden tener un número infinito de términos con potencias de x. Al truncar la serie de potencias, el profesor Wildberger afirma que pudieron extraer respuestas numéricas aproximadas para comprobar la eficacia del método. "Una de las ecuaciones que probamos fue una famosa ecuación cúbica utilizada por Wallis en el siglo XVII para demostrar el método de Newton. Nuestra solución funcionó a la perfección", afirmó. Sin embargo, el profesor Wildberger afirma que la demostración del método se basa, en última instancia, en la lógica matemática.

Su método utiliza nuevas secuencias de números que representan relaciones geométricas complejas. Estas secuencias pertenecen a la combinatoria, una rama de las matemáticas que estudia los patrones numéricos en conjuntos de elementos. La secuencia combinatoria más famosa, llamada los números de Catalan, describe el número de maneras en que se puede dividir un polígono (cualquier figura con tres o más lados) en triángulos. Estos números tienen importantes aplicaciones prácticas, como algoritmos informáticos, diseño de estructuras de datos y teoría de juegos. Incluso aparecen en biología, donde se utilizan para calcular los posibles patrones de plegamiento de las moléculas de ARN. Además, pueden calcularse mediante un simple polinomio de dos grados. "Se entiende que los números de Catalan están íntimamente relacionados con la ecuación cuadrática. Nuestra innovación radica en la idea de que, si queremos resolver ecuaciones de mayor complejidad, debemos buscar análogos de mayor complejidad de los números de Catalan". El trabajo del profesor Wildberger extiende estos números de Catalan de una matriz unidimensional a una multidimensional, basándose en el número de maneras en que un polígono puede dividirse mediante líneas que no se intersecan. "Hemos encontrado estas extensiones y demostrado cómo, lógicamente, conducen a una solución general de las ecuaciones polinómicas. Esta es una revisión drástica de un capítulo básico del álgebra. Incluso las ecuaciones de quinto grado (un polinomio de grado cinco) ahora tienen soluciones", afirma. Además del interés teórico, afirma, el método ofrece una gran promesa práctica para la creación de programas informáticos que puedan resolver ecuaciones utilizando series algebraicas en lugar de radicales.

"Este es un cálculo fundamental para gran parte de las matemáticas aplicadas, por lo que representa una oportunidad para mejorar los algoritmos en una amplia gama de áreas". El profesor Wildberger afirma que el novedoso conjunto de números, al que él y el Dr. Rubine denominaron "Geode", también ofrece un gran potencial para futuras investigaciones. "Presentamos este conjunto de números fundamentalmente nuevo, Geode, que amplía los números Catalan clásicos y parece ser la base de ellos. Esperamos que el estudio de este nuevo conjunto de Geode plantee muchas preguntas nuevas y mantenga ocupados a los combinatorios durante años. Realmente, hay muchísimas otras posibilidades. Esto es solo el principio", concluyó.