о математической строгости
Леонид Посицельский о преподавании математической строгости:"Сюжет: в университете Торонто первокурсникам читается курс MAT102H5 "Introduction to Mathematical Proofs". Учебник по этому курсу начинается с вывода формулы для корней квадратного уравнения. [...]Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п.[...] Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать. На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n."Я согласен с тем, что вывод формулы корней квадратного уравнения не подходит в качестве введения в математическую строгость и/или понятия доказательства (что не совсем одно и то же, но разница для первого знакомства не так уж важна). По моему опыту, индукция тоже не очень подходит, по двум причинам. Во-первых, она заранее "выдает секрет": чтобы доказать по индукции, нужно знать формулу, а если знаешь формулу, которая работает, то зачем еще что-то доказывать? Аргумент "а вдруг она работает не всегда" тем более убедительно звучит, чем более ученику и так уже не надо ничего объяснять. Во-вторых, сам метод математической индукции по первому знакомству не убеждает: много движущихся частей и абстракции, самое простое объяснение идет от противного (что само по себе уже непросто для многих).Что бы я предложил вместо этого для знакомства со строгостью/доказательствами? Во-первых, геометрия просто создана для этого, и исторически именно так все с доказательствами и знакомились. Необязательно расписывать подробно "из постулатов", даже почти целиком визуальные демонстрации подойдут - например, почему у треугольника сумма углов всегда 180 градусов. Давай измерим у одного, другого, третьего, а почему ВСЕГДА так? Вот картинка, после которой ясно, что по-другому быть не может (а это и есть суть математической строгости: идея, что по-другому быть не может). Потом сумма угла 4-х, 5-угольника: априори непонятно, но давай теперь разделим на треугольники, и опять ясно, что ПО-ДРУГОМУ БЫТЬ НЕ МОЖЕТ.Если не геометрия, а что-то связанное с подсчетом, то как мне кажется это должен быть пример, когда строгий аргумент экономит время, показывая, что не надо его тратить на бессмысленные попытки сделать что-то невозможное, причем эта невозможность не очевидна. А это в первую очередь аргументы с помощью инвариантов. Задача про тараканов (девять тараканов на доске 3x3, одновременно каждый переползает на соседнюю по вертикали/горизонтали клетку, может ли получиться, что опять все клетки заняты?) хороший пример, вроде и не получается занять все клетки, если пытаешься, но вдруг что-то упустил? Но и здесь надо быть настороже, если хочешь достучаться до всех учеников, способных это понять. Для многих поначалу тяжело различить "я попытался и не смог и не вижу как сделать" и "это невозможно". Они не научились еще ощущать неоспоримость, финальность этого "невозможно" - и это неудивительно, ведь это и есть математическая строгость, а мы пытаемся ей научить. Другой пример - задача про семь мостов Эйлера. Третий - "пятнашки" Лойда, можно дать конкретное задание перевести 13-15-14 в правильное состояние и рассказать историю о том, как за это был объявлен приз.Короче, разными способами стремиться вызвать отклик на эту идею "по-другому быть не может" и показывать, как она лежит в основе в самых разных местах. Это собственно строгость. А отдельно от этого - основы доказательства, как главного метода обеспечить строгость в математике. И тут есть своя важность у индукции, у разделения доказательства на разные варианты, у доказательства от противного, у кванторов "для всех" и "существует" и их обращению с логическим "нет" (силлогизмы тут хорошо подходят, как мне кажется), итд. итп.
Леонид Посицельский о преподавании математической строгости:
"Сюжет: в университете Торонто первокурсникам читается курс MAT102H5 "Introduction to Mathematical Proofs". Учебник по этому курсу начинается с вывода формулы для корней квадратного уравнения. [...]
Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п.
[...] Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать. На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n."
Я согласен с тем, что вывод формулы корней квадратного уравнения не подходит в качестве введения в математическую строгость и/или понятия доказательства (что не совсем одно и то же, но разница для первого знакомства не так уж важна). По моему опыту, индукция тоже не очень подходит, по двум причинам. Во-первых, она заранее "выдает секрет": чтобы доказать по индукции, нужно знать формулу, а если знаешь формулу, которая работает, то зачем еще что-то доказывать? Аргумент "а вдруг она работает не всегда" тем более убедительно звучит, чем более ученику и так уже не надо ничего объяснять. Во-вторых, сам метод математической индукции по первому знакомству не убеждает: много движущихся частей и абстракции, самое простое объяснение идет от противного (что само по себе уже непросто для многих).
Что бы я предложил вместо этого для знакомства со строгостью/доказательствами? Во-первых, геометрия просто создана для этого, и исторически именно так все с доказательствами и знакомились. Необязательно расписывать подробно "из постулатов", даже почти целиком визуальные демонстрации подойдут - например, почему у треугольника сумма углов всегда 180 градусов. Давай измерим у одного, другого, третьего, а почему ВСЕГДА так? Вот картинка, после которой ясно, что по-другому быть не может (а это и есть суть математической строгости: идея, что по-другому быть не может). Потом сумма угла 4-х, 5-угольника: априори непонятно, но давай теперь разделим на треугольники, и опять ясно, что ПО-ДРУГОМУ БЫТЬ НЕ МОЖЕТ.
Если не геометрия, а что-то связанное с подсчетом, то как мне кажется это должен быть пример, когда строгий аргумент экономит время, показывая, что не надо его тратить на бессмысленные попытки сделать что-то невозможное, причем эта невозможность не очевидна. А это в первую очередь аргументы с помощью инвариантов.
Задача про тараканов (девять тараканов на доске 3x3, одновременно каждый переползает на соседнюю по вертикали/горизонтали клетку, может ли получиться, что опять все клетки заняты?) хороший пример, вроде и не получается занять все клетки, если пытаешься, но вдруг что-то упустил? Но и здесь надо быть настороже, если хочешь достучаться до всех учеников, способных это понять. Для многих поначалу тяжело различить "я попытался и не смог и не вижу как сделать" и "это невозможно". Они не научились еще ощущать неоспоримость, финальность этого "невозможно" - и это неудивительно, ведь это и есть математическая строгость, а мы пытаемся ей научить. Другой пример - задача про семь мостов Эйлера. Третий - "пятнашки" Лойда, можно дать конкретное задание перевести 13-15-14 в правильное состояние и рассказать историю о том, как за это был объявлен приз.
Короче, разными способами стремиться вызвать отклик на эту идею "по-другому быть не может" и показывать, как она лежит в основе в самых разных местах. Это собственно строгость. А отдельно от этого - основы доказательства, как главного метода обеспечить строгость в математике. И тут есть своя важность у индукции, у разделения доказательства на разные варианты, у доказательства от противного, у кванторов "для всех" и "существует" и их обращению с логическим "нет" (силлогизмы тут хорошо подходят, как мне кажется), итд. итп.
"Сюжет: в университете Торонто первокурсникам читается курс MAT102H5 "Introduction to Mathematical Proofs". Учебник по этому курсу начинается с вывода формулы для корней квадратного уравнения. [...]
Никого невозможно научить математической строгости на таком материале, как вывод формулы корней квадратного уравнения. Правильный математический сюжет для демонстрации того, как работают математические доказательства — это метод математической индукции, например. Доказать формулу для суммы кубов первых n натуральных чисел и т.п.
[...] Ну просто, математическая строгость — это мощный метод познания истины. А не бесполезное занудство. Цель любого разумного преподавания понятия о математическом доказательстве в том, чтобы это продемонстрировать. На примере формулы корней квадратного уравнения, продемонстрировать это невозможно. Другое дело, вы говорите студентам: сумма 1^3 + 2^3 + ... + n^3 равна квадрату суммы 1 + 2 + .... + n. Можно проверить это на примерах n = 2, 3, 4. Это убеждает нас в том, что формула верна для всех n, или остаются сомнения, и хотелось бы более убедительного доказательства? Если неполная индукция кажется кому-то убедительной, то можно подобрать контрпример (какой-нибудь другой пары последовательностей), когда она приводит к ошибочному выводу. Если все-таки признать, что неполной индукции недостаточно, то вот есть метод математической индукции, изготовляющий из нескольких простых выкладок строгое доказательство того, что 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + .... + n)^2 для всех натуральных n."
Я согласен с тем, что вывод формулы корней квадратного уравнения не подходит в качестве введения в математическую строгость и/или понятия доказательства (что не совсем одно и то же, но разница для первого знакомства не так уж важна). По моему опыту, индукция тоже не очень подходит, по двум причинам. Во-первых, она заранее "выдает секрет": чтобы доказать по индукции, нужно знать формулу, а если знаешь формулу, которая работает, то зачем еще что-то доказывать? Аргумент "а вдруг она работает не всегда" тем более убедительно звучит, чем более ученику и так уже не надо ничего объяснять. Во-вторых, сам метод математической индукции по первому знакомству не убеждает: много движущихся частей и абстракции, самое простое объяснение идет от противного (что само по себе уже непросто для многих).
Что бы я предложил вместо этого для знакомства со строгостью/доказательствами? Во-первых, геометрия просто создана для этого, и исторически именно так все с доказательствами и знакомились. Необязательно расписывать подробно "из постулатов", даже почти целиком визуальные демонстрации подойдут - например, почему у треугольника сумма углов всегда 180 градусов. Давай измерим у одного, другого, третьего, а почему ВСЕГДА так? Вот картинка, после которой ясно, что по-другому быть не может (а это и есть суть математической строгости: идея, что по-другому быть не может). Потом сумма угла 4-х, 5-угольника: априори непонятно, но давай теперь разделим на треугольники, и опять ясно, что ПО-ДРУГОМУ БЫТЬ НЕ МОЖЕТ.
Если не геометрия, а что-то связанное с подсчетом, то как мне кажется это должен быть пример, когда строгий аргумент экономит время, показывая, что не надо его тратить на бессмысленные попытки сделать что-то невозможное, причем эта невозможность не очевидна. А это в первую очередь аргументы с помощью инвариантов.
Задача про тараканов (девять тараканов на доске 3x3, одновременно каждый переползает на соседнюю по вертикали/горизонтали клетку, может ли получиться, что опять все клетки заняты?) хороший пример, вроде и не получается занять все клетки, если пытаешься, но вдруг что-то упустил? Но и здесь надо быть настороже, если хочешь достучаться до всех учеников, способных это понять. Для многих поначалу тяжело различить "я попытался и не смог и не вижу как сделать" и "это невозможно". Они не научились еще ощущать неоспоримость, финальность этого "невозможно" - и это неудивительно, ведь это и есть математическая строгость, а мы пытаемся ей научить. Другой пример - задача про семь мостов Эйлера. Третий - "пятнашки" Лойда, можно дать конкретное задание перевести 13-15-14 в правильное состояние и рассказать историю о том, как за это был объявлен приз.
Короче, разными способами стремиться вызвать отклик на эту идею "по-другому быть не может" и показывать, как она лежит в основе в самых разных местах. Это собственно строгость. А отдельно от этого - основы доказательства, как главного метода обеспечить строгость в математике. И тут есть своя важность у индукции, у разделения доказательства на разные варианты, у доказательства от противного, у кванторов "для всех" и "существует" и их обращению с логическим "нет" (силлогизмы тут хорошо подходят, как мне кажется), итд. итп.
